거듭제곱의 합

거듭제곱의 합(sum of powers, power sum)은 크게 두 가지로 나눌 수 있다: 지수가 변하는 것과 밑이 변하는 것.

지수가 변하는 거듭제곱의 합

가장 기본적인 형태는

\sum _{i=0}^{n}x^{i}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}

이다. 이를 미분하여 $x$ 를 곱하면 다음을 얻는다.

\sum _{i=0}^{n}ix^{i}={\frac {x-(n+1)x^{n+1}+nx^{n+2}}{(x-1)^{2}}}.

비슷한 방법으로 어떤 양의 정수 $e_{i}\quad (i=0,\cdots ,m)$ 에 대하여

\sum _{k=m}^{n}k^{e_{0}}(k-1)^{e_{1}}\cdots (k-m)^{e_{m}}x^{k}

를 구할 수 있다.

급수 $\sum _{k\geq 0}x^{k}$ 는 $|x|<1$ 일 때 수렴하며 $\sum _{k\geq 0}x^{k}=(1-x)^{-1}$ 이다. 일반적으로

\left(\sum _{k\geq 0}x^{k}\right)^{p}=(1-x)^{-p}=\sum _{n\geq 0}{\binom {n+p-1}{n}}x^{n}

가 된다. 이와 비슷한 유한 합은

\left(\sum _{k=0}^{n}x^{k}\right)^{p}={\frac {1}{(p-1)!}}\sum _{k=0}^{np}{\frac {(n-|n-k|+p-1)!}{n-|n-k|!}}x^{k}

이다.

밑이 변하는 거듭제곱의 합

가장 기본적인 형태는

\sum _{i=0}^{n}i^{p}

이다. 이는 위 경우에 비하여 계산하기가 어렵다. 고교 과정에서는 $p=1,2,3$ 의 경우를 배우는데, 이항정리를 이용하여 귀납적으로 이끌어낸다. $\sum _{i=0}^{n}i^{p}$ 를 만들기 위하여 $(x+1)^{p+1}-x^{p+1}=\sum _{j=0}^{p}{\binom {p+1}{j}}x^{j}$ 를 이용한다. 이 식을 $i=0$ 에서부터 $i=n$ 까지 더하면

\sum _{i=0}^{n}\left((i+1)^{p+1}-i^{p+1}\right)=(n+1)^{p+1}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{p}{\binom {p+1}{j}}i^{j}=\sum _{j=0}^{p}{\binom {p+1}{j}}\sum _{i=0}^{n}i^{j}

이다. 이를

(n+1)^{p+1}-\sum _{j=0}^{p-1}{\binom {p+1}{j}}\sum _{i=0}^{n}i^{j}={\binom {p+1}{p}}\sum _{i=0}^{n}i^{p}

\sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}-{\frac {1}{p+1}}\sum _{j=0}^{p-1}{\binom {p+1}{j}}\sum _{i=0}^{n}i^{j}

로 정리하면 원하는 식을 얻는다.

베르누이 수를 이용하면 귀납적이지 않은 하나의 식으로 위의 합을 나타낼 수 있다. 오일러-매클로린 공식을 이용하여

\sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{1}^{n}f(x)\mathrm {d} x+{\frac {1}{2}}(f(1)+f(n))+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)\right)

에서 $f(k)=k^{p}$ 로 두면,

\sum _{k=1}^{n}k^{p}=n^{p}+\sum _{k=0}^{p}{\frac {B_{k}p!}{k!(p-k+1)!}}n^{p-k+1}=\sum _{k=1}^{p+1}{\frac {(-1)^{p-k+1}B_{p-k+1}p!}{k!(p-k+1)!}}n^{k}

이 식에서 계수들의 합이 1이라는 것을 쉽게 알 수 있다.

\sum _{k=1}^{p+1}{\frac {(-1)^{p-k+1}B_{p-k+1}p!}{k!(p-k+1)!}}=1

또한 두 개의 파라미터로 변하는 급수로도 나타낼 수 있다.

\sum _{i=0}^{n}k^{p}=\sum _{i=1}^{p}\sum _{j=0}^{i-1}(-1)^{j}(i-j)^{p}{\binom {n+p-i+1}{n-i}}{\binom {p+1}{j}}

공식

$\sum _{k=0}^{n}k={\frac {1}{2}}n(n+1)$
$\sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {1}{6}}n(n+1)(2n+1)$
$\sum _{k=0}^{n}k^{3}={\frac {1}{4}}n^{2}(n+1)^{2}$
$\sum _{k=0}^{n}k^{4}={\frac {1}{30}}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)$
$\sum _{k=0}^{n}k^{5}={\frac {1}{12}}n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)$
$\sum _{k=0}^{n}k^{6}={\frac {1}{42}}n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)$
$\sum _{k=0}^{n}k^{7}={\frac {1}{24}}n^{2}(n+1)^{2}(3n^{4}+6n^{3}-n^{2}-4n+2)$
$\sum _{k=0}^{n}k^{8}={\frac {1}{90}}n(n+1)(2n+1)(5n^{6}+15n^{5}+5n^{4}-15n^{3}-n^{2}+9n-3)$
$\sum _{k=0}^{n}k^{9}={\frac {1}{20}}n^{2}(n+1)^{2}(n^{2}+n-1)(2n^{4}+4n^{3}-n^{2}-3n+3)$
$\sum _{k=0}^{n}k^{10}={\frac {1}{66}}n(n+1)(2n+1)(n^{2}+n-1)(3n^{6}+9n^{5}+2n^{4}-11n^{3}+3n^{2}+10n-5)$