페르마의 소정리 문서 원본 보기

너무나도 유명한 [[페르마의 마지막 정리]]에 기가 눌려서 그렇지 이쪽도 나름 유명한 정리이다. [[1640년]]에 처음으로 발표되었다. <s>근데 증명을 안 해 놓은 건 똑같다.</s> <s>아니 페르마의 성격상 정리 해 놓고 공개 안 한 걸지도 모른다 [[카더라]].</s> 원고 형식의 증명은 [[1683년]]경 [[빌헬름 라이프니츠]]에 의해서, 출판 형식의 증명은 [[1736년]] [[레온하르트 오일러]]에 의해서 증명되었다. 정리의 내용은 다음과 같다.
:[[소수]] <math>p</math>와 양의 [[정수]] <math>a</math>에 대해 <math>\gcd\left(a,p\right)=1</math> 이면 <math>a^{p-1}\equiv1\pmod p</math><ref>참고로 A-B가 N의 배수이면, 즉 A-B = Nk (k는 정수)이면 A≡B (mod N)라고 쓴다.</ref>

== 증명 ==
집합 <math>A=\left\{a,2a,3a,\cdots,\left(p-1\right)a\right\}</math>을 생각하자. 먼저, 각 원소는 <math>p</math>로 나누어 떨어지지 않는다. 만약 적당한 정수 <math>1\leq k\leq p-1</math>에 대해 <math>p\mid ka</math>이면, <math>p\not\mid a</math>이므로 <math>p\mid k</math>인데, 이는 모순이다. 또한, 어느 두 원소도 법 <math>p</math>에 대해 동일하지 않다. 만약 <math>ia\equiv ja\pmod p</math>이면, <math>\gcd\left(p,a\right)=1</math>이므로 <math>i\equiv j\pmod p</math>이고,<ref>[[합동식]] 참조.</ref> <math>1\leq i,\,j\leq p-1</math>이므로 <math>i=j</math>이어야만 한다. 따라서, 집합 <math>A</math>는 법 <math>p</math>에 대한 완전잉여계이다. 이는 곧 <math>A\equiv\left\{1,2,3,\cdots,p-1\right\}</math>임을 의미한다 (순서까지 같을 필요는 없다). 따라서, <math>a\cdot2a\cdot\cdots\cdot\left(p-1\right)a\equiv1\cdot2\cdot\cdots\cdot\left(p-1\right)\equiv\left(p-1\right)!\pmod p</math>이고, 정리하면 <math>a^{p-1}\left(p-1\right)!\equiv\left(p-1\right)!\pmod p</math>이다. [[윌슨의 정리]]에 의해 <math>-a^{p-1}\equiv-1\pmod p</math>이고, 곧 <math>a^{p-1}\equiv1\pmod p</math>이다.<br />페르마 소정리는 매우 다양한 방법으로 증명이 가능하다. 기약잉여계를 이용한 방법 뿐만아니라 합동식, 순환소수의 성질을 이용하여도 증명이 가능하다.

== 따름 정리 ==
:<math>p</math>가 소수이고 <math>a</math>가 양의 정수이면, <math>a^p\equiv a\pmod p</math>가 성립한다.
증명은 매우 간단한데, <math>p\mid a</math>이면 좌·우변 다 0이므로 동일, <math>p\not\mid a</math>이면 위 페르마의 소정리에 의해 바로 유도된다.
:<math>p</math>가 소수이고 <math>a</math>가 <math>p\not\mid a</math>인 양의 정수이면, <math>\bar{a}\equiv a^{p-2}\pmod p</math>이다 (<math>\bar{a}</math>는 <math>a</math>의 법 <math>p</math>에 관한 역수).
역시 페르마의 소정리에 의해 바로 유도된다.

== 일반화 ==
페르마의 소정리를 일반화 시킨 것이 바로 [[오일러의 정리]]이다. 자세한 것은 항목 참조.

{{주석}}
[[분류:정수론]][[분류:수학 정리]]