문서 편집 권한이 없습니다. 다음 이유를 확인해주세요: 요청한 명령은 다음 권한을 가진 사용자에게 제한됩니다: 사용자. 문서의 원본을 보거나 복사할 수 있습니다. [[분류:수학]] '''거듭제곱의 합'''(sum of powers, power sum)은 크게 두 가지로 나눌 수 있다: 지수가 변하는 것과 밑이 변하는 것. == 지수가 변하는 거듭제곱의 합 == 가장 기본적인 형태는 :<math>\sum_{i=0}^n x^i = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}</math> 이다. 이를 미분하여 <math>x</math>를 곱하면 다음을 얻는다. :<math>\sum_{i=0}^n ix^i = \frac{x-(n+1)x^{n+1} + nx^{n+2}}{(x-1)^2}.</math> 비슷한 방법으로 어떤 양의 정수 <math>e_i \quad (i=0,\cdots,m)</math>에 대하여 :<math>\sum_{k=m}^n k^{e_0}(k-1)^{e_1}\cdots (k-m)^{e_m}x^k</math> 를 구할 수 있다. 급수 <math>\sum_{k \ge 0} x^k</math>는 <math>|x|<1</math>일 때 수렴하며 <math>\sum_{k \ge 0} x^k=(1-x)^{-1}</math>이다. 일반적으로 : <math>\left(\sum_{k \ge 0} x^k\right)^p = (1-x)^{-p} = \sum_{n\ge 0} \binom{n+p-1}{n} x^n</math> 가 된다. 이와 비슷한 유한 합은 : <math>\left(\sum_{k =0}^n x^k\right)^p = \frac 1 {(p-1)!} \sum_{k=0}^{np} \frac{(n-|n-k|+p-1)!}{n-|n-k|!}x^k</math> 이다. == 밑이 변하는 거듭제곱의 합 == 가장 기본적인 형태는 :<math>\sum_{i=0}^n i^p</math> 이다. 이는 위 경우에 비하여 계산하기가 어렵다. 고교 과정에서는 <math>p=1, 2, 3</math>의 경우를 배우는데, [[이항정리]]를 이용하여 [[수학적 귀납법|귀납적]]으로 이끌어낸다. <math>\sum_{i=0}^n i^p</math>를 만들기 위하여 <math>(x+1)^{p+1} - x^{p+1} = \sum_{j=0}^{p} \binom{p+1}{j}x^j</math>를 이용한다. 이 식을 <math>i=0</math>에서부터 <math>i=n</math>까지 더하면 :<math>\sum_{i=0}^n \left((i+1)^{p+1} - i^{p+1}\right)=(n+1)^{p+1} = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{p} \binom{p+1}{j}i^j = \sum_{j=0}^{p} \binom{p+1}{j} \sum_{i=0}^n i^j </math> 이다. 이를 :<math>(n+1)^{p+1}-\sum_{j=0}^{p-1}\binom{p+1}{j}\sum_{i=0}^n i^j=\binom{p+1}{p}\sum_{i=0}^n i^p</math> :<math>\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} - \frac 1 {p+1} \sum_{j=0}^{p-1}\binom{p+1}{j}\sum_{i=0}^n i^j</math> 로 정리하면 원하는 식을 얻는다. [[베르누이 수]]를 이용하면 귀납적이지 않은 하나의 식으로 위의 합을 나타낼 수 있다. [[오일러-매클로린 공식]]을 이용하여 :<math>\sum_{k=1}^n f(k) = \int_1 ^n f(x)\mathrm dx + \frac{1}{2}(f(1)+f(n)) + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(b) - f^{(k-1)}(a)\right)</math> 에서 <math>f(k) = k^p</math>로 두면, :<math>\sum_{k=1}^n k^p = n^p + \sum_{k=0}^p \frac{B_k p!}{k! (p-k+1)!}n^{p-k+1} = \sum_{k=1}^{p+1} \frac{(-1)^{p-k+1}B_{p-k+1} p!}{k! (p-k+1)!}n^k</math> 이 식에서 계수들의 합이 1이라는 것을 쉽게 알 수 있다. :<math>\sum_{k=1}^{p+1} \frac{(-1)^{p-k+1}B_{p-k+1} p!}{k! (p-k+1)!} = 1</math> 또한 두 개의 파라미터로 변하는 급수로도 나타낼 수 있다. :<math>\sum_{i=0}^n k^p = \sum_{i=1}^p \sum_{j=0}^{i-1} (-1)^j (i-j)^p \binom{n+p-i+1}{n-i} \binom{p+1}{j}</math> === 공식 === * <math>\sum_{k=0}^n k=\frac 1 2 n(n+1)</math> * <math>\sum_{k=0}^n k^2=\frac 1 6 n(n+1)(2n+1)</math> * <math>\sum_{k=0}^n k^3=\frac 1 4 n^2 (n+1)^2</math> * <math>\sum_{k=0}^n k^4=\frac 1 {30} n (n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)</math> * <math>\sum_{k=0}^n k^5=\frac 1 {12} n^2 (n+1)^2 (2n^2 + 2n-1)</math> * <math>\sum_{k=0}^n k^6=\frac 1 {42} n(n+1)(2n+1)(3n^4 + 6n^3 - 3n + 1)</math> * <math>\sum_{k=0}^n k^7=\frac 1 {24} n^2 (n+1)^2 (3n^4 + 6n^3 - n^2 - 4n + 2)</math> * <math>\sum_{k=0}^n k^8=\frac 1 {90} n(n+1)(2n+1)(5n^6 + 15n^5 + 5n^4 - 15n^3 - n^2 + 9n - 3)</math> * <math>\sum_{k=0}^n k^9=\frac 1 {20} n^2(n+1)^2 (n^2+n-1)(2n^4 + 4n^3 - n^2 - 3n + 3)</math> * <math>\sum_{k=0}^n k^{10}=\frac 1{66} n(n+1)(2n+1)(n^2+n-1)(3n^6 + 9n^5 + 2n^4 - 11n^3 + 3n^2 + 10n -5)</math> === 1부터의 연속한 자연수의 합 === [[파일:intsum1.png|섬네일|같은 색으로 표현된 도형은 <math>\sum_{k=1}^n k</math>를 나타내고, 가로는 <math>n</math>, 세로는 <math>n+1</math>임에서 공식을 유도할 수 있다.|250px|오른쪽]] 특히 연속한 자연수의 합은 여러 가지 방법으로 구할 수 있다. 가장 알기 쉬운 방법으로는, 소문으로 들려오는 [[가우스]]가 어렸을 때 썼다는 방법이 있다. {| style="text-align: right;" align="center" |- | || 1 || + || 2 || + || … || + || (n-1) || + || n |- | +) || n || + || (n-1) || + || … || + || 2 || + || 1 |- | style="border-top: 1px solid black;" colspan="10" | |- | || (n+1) || + || (n+1) || + || … || + || (n+1) || + || (n+1) || <math>\quad n</math> 개 |} 위에서 <math>2\sum_{k=1}^n k = n(n+1), \quad \sum_{k=1}^n k = \frac 1 2 n(n+1)</math>임을 알 수 있다. === 니코마코스의 정리 === [[파일:nicomachusthm.png|섬네일|가로와 세로가 모두 <math>\sum_{k=1}^n k</math>이고, 한 변의 길이가 <math>k</math>인 정사각형이 <math>k</math> 개 있으므로 그 넓이의 합은 <math>k^2 \cdot k = k^3</math>이고 공식이 유도된다.|250px|오른쪽]] 세제곱의 합 공식 :<math>\sum_{k=1}^n k^3 = \frac 1 4 n^2 (n+1)^2</math> 을 보면, 누구나 자연수의 합 공식의 제곱으로 나타남을 알 수 있을 것이다. :<math>\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2 </math> 이를 '''니코마코스의 정리'''(Nicomachus's theorem)라고 한다. == 참고 == * [http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html Wolfram Mathworld] 거듭제곱의 합 문서로 돌아갑니다.